" Mathematics is learn to train your left brain"

1.0 FUNGSI 

1.1a Hubungan

Pengenalan kepada Hubungan:

Suatu " hubungan" hanyalah satu ikatan atau perhubungan antara set A ( domain) dan set B (kodomain) 

Hubungan boleh diwakili dengan pelbagai cara, iaitu:
(a) Pasangan bertertib 

(b) Gambar rajah anak panah

(c) Graf

1.1b Domain dan Kodomain

· Dalam hubungan antara satu set dengan set yang lain, set pertama dikenali sebagai domain dan set kedua dikenali sebagai kodomain.

· Unsur- unsur dalam domain dinamakan objek, manakala unsur- unsur dalam kodomain dipadankan dengan objek dinamakan imej.

· Unsur- unsur dalam kodomain tidak dipadankan dengan objek adalah bukan imejnya.

· Semua imej dalam kodomain boleh ditulis sebagai satu set dinamakan julat.

Contoh:  

Domain= { 3, 4,5 }

Kodomain= { 7, 9, 12, 15}

Julat= { 9, 12, 15} [ 7 bukan satu imej kerana ia tidak dipadankan dengan sebarang objek]

3 ialah objek bagi 9, 12 dan 15 

4 ialah objek bagi 12

5 ialah objek bagi 15.

9, 12 dan 15 ialah imej bagi 3.

12 ialah imej bagi 4.

15 ialah imej bagi 5. 

1.1c Jenis Hubungan

1. Hubungan boleh dikelaskan kepada 4 jenis, iaitu:

(a)  Hubungan satu kepada satu

(b)  Hubungan satu kepada banyak

(c)  Hubungan banyak kepada satu

(d)  Hubungan banyak kepada banyak

1.2 FUNGSI

(A) Fungsi sebagai sejenis hubungan khas

· Fungsi ialah hubungan khas dimana setiap objek dalam domain mempunyai hanya satu imej.

· Hanya hubungan satu dengan satu dan hubungan banyak dengan satu ialah fungsi.

· Fungsi boleh diwakili dengan f:x  → y atau f(x) = y dengan f ialah fungsi yang memetakan x kepada y.

(B) Tatatanda Fungsi

 Dalam tatatanda fungsi, sesuatu fungsi boleh diwakili oleh huruf abjad seperti f, g, h dan sebagainya. Misalnya, fungsi f yang memetakan objek x dalam domain kepada imej y dalam julat boleh ditulis sebagai

f : x → y

atau 

f(x) = y

Seperti yang ditunjukkan dalam rajah di atas, fungsi f : X → Y, setiap unsur x dalam domain X mempunyai satu imej yang unik dalam kodomain Y.

Contoh 1:

Diberi fungsi f : x → 5x + 1, cari nilai bagi

(a) f (4)

(b) f (–6)

Penyelesaian:

(a)

 f (x) = 5x + 1

 f (4) = 5(4) + 1 = 21

(b)

 f (x) = 5x + 1

 f (– 6) = 5(–6) + 1 = –29

(C) Domain, Kodomain, Objek, Imej, dan Julat bagi Suatu Fungsi

Contoh 3:

Gambar rajah anak panah di atas mewakili satu fungsi f : x → 2x² – 5. Nyatakan

(a)    domain,

(b)   julat,

(c)    imej bagi –2,

(d)   objek bagi,

            (i)     –3,

            (ii)   –5.

Penyelesaian:

(a)    Domain = {–2, –1, 0, 1, 2}.

(b)   Julat = {–5, –3, 3}.

(c)    Imej bagi –2 ialah 3.

(d)   (i) Objek bagi –3 ialah 1 dan –1.

        (ii)Objek bagi –5 ialah 0.

(D) Fungsi Nilai Mutlak

1.      Tanda |  | menandakan nilai mutlak bagi suatu nombor. Secara amnya, nilai mutlak bagi nombor x, iaitu | x |, ditakrifkan seperti berikut.

|x|={x jika x≥0−x jika x<0

2.      Ini bermakna tanda bagi suatu nilai mutlak sentiasa positif.

3.      | x | dibaca sebagai modulus bagi x.

4.      Nilai mutlak bagi fungsi f(x) ialah nilai berangka bagi f(x) dan ditandakan sebagai | f(x) |.

|f(x)|={f(x) jika f(x)≥0−f(x) jika f(x)<0

Contoh 4:

Diberi fungsi f : x → |x + 2|.

(a)    Cari imej bagi –4, –3, 0, dan 2.

(b)   Lakarkan graf bagi f (x) bagi domain –4 ≤ x ≤ 2.

Seterusnya, nyatakan nilai julat f (x) berdasarkan domain yang diberi.

Penyelesaian:

(a)Diberi f (x) = |x + 2|

Imej bagi –4 ialah f(–4) = | –4 + 2| = | –2| = 2

Imej bagi –3 ialah f(–3) = | –3 + 2| = | –1| = 1

Imej bagi 0 ialah f(0) = | 0 + 2| = | 2 | = 2

Imej bagi 2 ialah f(2) = | 2 + 2| = | 4 | = 4

(b)Daripada (a),

f(–4) = 2

f(–3) = 1

f(0) = 2

f(2) = 4

Tentukan titik supaya graf menyentuh paksi-x.

Pada paksi-x, f (x) = 0

|x + 2| = 0

x + 2 = 0

x = –2

Oleh itu, julat bagi nilai f (x) ialah 0 ≤ f (x) ≤ 4.

 2.0 FUNGSI GUBAHAN

Jika fungsi f : X → Y,

  dan fungsi g : Y → Z,

  maka, fungsi gubahan gf: X → Z

Contoh: f(x) = 2x+3 dan g(x) = x²

"x" hanya pemegang tempat,dan untuk mengelakkan kekeliruan mari kita sebut sebagai "input" :

f(input) = 2(input)+3g(input) = (input)²

Jadi, marilah kita mulakan:

(g º f)(x) = g(f(x))

Pertama kita mengaplikasikan f, kemudian gunakan g untuk hasil itu:

 

(g º f)(x) = (2x+3)²

Bagaimana caranya jika kita ingin membalikkan perintah f dan g?

(f º g)(x) = f(g(x))

Mula-mula kita mengaplikasikan g,

(f º g)(x) = 2x²+3

JADI DAPATLAH KEPUTUSAN YANG BERBEZA!!

Oleh itu, berhati-hati soalan yang berfungsi terlebih dahulu

2.1 Simbol

Tetapi,bukanlah titik (g · f)(x),kerana ia bermaksud darab

2.2 Gubahan dengan sendiri

Anda juga boleh mengarang fungsi dengan sendirinya! Marilah kita cubakan!

 

Contoh: f(x) = 2x+3

(f º f)(x) = f(f(x))

Mula-mula kita mengaplikasikan f,

(f º f)(x) = 2(2x+3)+3 = 4x + 9

Cubalah dengan diri sendiri tanpa bergantung kepada rajah!

(f º f)(x)	= f(f(x))
	= f(2x+3)
	= 2(2x+3)+3
	= 4x + 9

2.3 Domains

Ia telah menjadi mudah setakat ini, tetapi sekarang anda harus mempertimbangkan Domain fungsi tersebut.

Domain adalah kumpulan kepada semua nilai yang masuk ke dalam fungsi.

Fungsi ini mesti berfungsi untuk semua nilai yang anda berikan, jadi terpulang kepada anda untuk memastikan anda mendapat domain yang betul !

Domain bagi Fungsi Gubahan 

Kamu hendaklah mendapat kedua-dua domain yang betul (Fungsi gubahan dan juga funsi pertama).

Apabila membuat soalan seperti , (g º f)(x) = g(f(x)):

Pastikan mendapat Domain bagi f(x) yang betul,

Pastikan mendapat g(x) yang betul bagi Domain

Contoh: f(x) = √x dan g(x) = x²

 Domain bagi f(x) = √x ialah nombor negatif bagi semua nombor 

 Domain bagi g(x) = x² ialah nombor sebenar

Fungsi gubahan :

(g º f)(x)	= g(f(x))
	= (√x)2
	= x

Sekarang, "x" mempunyai Domain bagi semua nombor sebenar ...

... tetapi kerana ia ialah fungsi gubahan kamu hendaklah timbangkan f(x),

Domain ialah nombor sebenar yang bukan negatif

RUMUSAN

l "Fungsi Gubahan" mengaplikasi  fungsi untuk mendapatkan keputusan yang berbeza.

l g º f)(x) = g(f(x)), pertama,aplikasikan f(), kemudian baru g()

Anda harus mengikut domain pertama

Soalan 1:

Jika f : x → x + 5 dan g : x → x2 +2x + 3, cari

(a) nilai gf (2),

(b) nilai fg (2 ),

(c) fungsi gubahan fg,

(d) fungsi gubahan gf,

(e) fungsi gubahan g2,

(f) fungsi gubahan f 2.

Soalan 2:

Diberi f : x → hx + k, g : x → (x + 1)2 + 4 dan fg : x→ 2(x + 1)2 + 5. Cari 

(a) nilai g 2 (2),

(b) nilai h dan nilai k.

Penyelesaian:

Soalan 1:

Soalan 2:

3.0 FUNGSI INVERSI

Definisi fungsi inversi, gabungan, dan khusus

Definisi “ Fungsi Inversi ”

Fungsi Inversi atau fungsi kebalikan adalah fungsi yang merupakan kebalikan aksi dari suatu fungsi. Jika f adalah fungsi berkoresponden satu-ke-satu dari A ke B , maka kita dapat menemukan balikan atau inversi (invers) dari f . fungsi inversi dari f dilambangkan dengan f -1 . 

Misalkan :

-    a adalah anggota himpunan A

-       b adalah anggota himpunan B

Maka :

f -1 (b) = a   jika  f (a) = b

Contoh soal:

  

     1 .   Apakah  f -1  ada ? mengapa ?

    2 .   Gambarlah diagram panah dari  f -1 ! 

     Pembahasan :

Definisi "Fungsi Gabungan"

Fungsi gabungan atau fungsi komposisi merupakan bentuk khusus dari relasi , kita juga dapat melakukan komposisi dari dua fungsi . 

Misalkan :

- g adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B

- f  adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C. 

( f o g)(a) = f( g(a)

Maka :

Contoh Soal Diberikan f(x) = x2 + 2x + 1 dan g(x) = 4x – 1.  Tentukan rumus fungsi f ○ g dan tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi komposisi tersebut! Jawab Diketahui f(x) = x2 + 2x + 1, g(x) = 4x – 1 maka: (f ○ g)(x) = f(g(x)) = (g(x))2 + 2g(x) + 1 = (4x – 1)2 + 2(4x – 1) + 1 = 16x2

Sehingga daerah asal dari fungsi komposisi f ○ g adalah himpunan bilangan real. Sedangkan daerah hasil dari fungsi komposisi tersebut adalah himpunan bilangan real non-negatif . 

Ringkasan

1. Fungsi ialah sejenis hubungan khas yang mana setiap objek dalam domain mempunyai hanya satu imej dalam kodomain. 

2.Fungsi nilai mutlak ditakrifkan oleh

3. Jika f ialah suatu fungsi yang memetakan set A kepada  set B dan g ialah suatu fungsi yang memetakan set B kepada set C, maka gf ialah fungsi gubahan f diikuti dengan g yang memetakan set A terus ke set C.

4. Jika f:x → y ialah suatu fungsi yang memetakan x kepada y, maka songsangannya ditandakan sebagai  Jika f:x→y ialah suatu fungsi yang memetakan x  kepada y, maka songsongannya ditandakan f^-1. Fungsi songsang ialah suatu fungsi yang memetakan y kembali kepada x.

 

Jika y=f^-1(x) , maka f(y)=x.

 Peringatan

 Objek = nilai x

 Imej = nilai y atau f(x)

 Jika f(x) memetak kepada diri sendirinya bermaksud f(x)=x.

Don't hate Mathematics, Mistakes are proof that you are trying